本文是给学物理竞赛的同学写的保角变换教程，文中的数学定义会不太严格。

一. 一点点的复变函数知识

鉴于很多同学并没有时间和精力去学数理方法，我们先在正式介绍保角变换前介绍一些接下来会用到的复变函数知识。

复变函数中我们可以直接理解为将原来我们所熟知的各种函数中的自变量以及因变量推广到了复数域，一般情况下我们研究并且使用的是解析函数。

解析函数

此时我们不难发现解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程：

先不管保角变换，我们先来看解析函数的一个应用：平面静电场的复势

众所周知平面静电场的电势分布满足二维拉普拉斯方程，解析函数的实部或虚部刚好也满足二维拉普拉斯方程，因而我们不妨认为对于一平面静电场其电势分布函数刚好为一解析函数的实部（或虚部）。那么由柯西——黎曼条件知此时该解析函数的虚部（或实部）也随之确定。由柯西——黎曼条件我们可以导出

,意味着

与

正交，因为

与

分别为曲线族

、

的法向量，那么曲线

便与

正交。现在我们不妨令

为势函数，那么与之对应的

便为通量函数。

描述了等势线，那么

描述了电场线。我们用复势便同时描述了一个系统的电场线与等势线。

为了求得一个系统的复势，我们不妨建立复平面

,那么一点的电场强度矢量

便可以记为

。不妨记复势

中

为势函数，

为通量函数

则由

得

因而

。

并且，如果我们知道了一个系统的电势（或通量）函数，我们也可以直接通过柯西——黎曼条件直接解得通量（或电势）函数。

用复势算平面静电场看似很秀，但实际上并没有什么卵用。有了解析函数的一些知识，我们便可以来看重头戏保角变换了。

保角变换

关于保角变换的严格的讨论请自行参见数理方法。我们完全可以将其理解为我们处理平面静电问题实际上是在解二维泊松方程

,而静电问题中所给出的各种电荷分布、接地平板等等实际上是给出了泊松方程的

及其定解所需的边界条件。现在我们在平面

中拥有的边界条件不足以让我们的静电问题达到“容易解”的地步，我们便把体系放到一个复平面

上，并通过一个解析函数

使

将体系变换到另一个复平面

上。在这变换过程中，“形状”会发生改变、某一点的电荷密度会变为原来的

，但是两曲线的交角不变、两电间的电势差不变。因而，我们可以通过保角变换让系统变得“容易解”，在新平面解完后再将坐标变回原平面。

二. 几个常用的保角变换

1. 线性变换

此时于

平面内的一段线元的长度被放大了

倍，整体沿复数

的方向平移了

个单位长度。

2. 幂函数和根式变换

于原点处交角被放大了

倍，于除原点外的各处保角。

3. 指数函数变换

显然一条平行于实轴的线

变成了一条过原点的射线，平行于虚轴的直线

变为以原点为圆心，以

为半径的圆。

3. 对数函数变换

圆变为了一条直线。

4. 分式线性变换

,

于全平面保角，且圆保持为圆，相对圆的对称点保持为对称点（相对圆的一对对称点相当于电像法中的一对原、像电荷；平面视为圆的半径

的特殊情况），变换后圆的位置由变换后的一组对称点决定。

常用的还有儒阔夫斯基变换、施瓦兹——克利斯多菲变换，但解题时实际用处不多，感兴趣的同学请自行参阅数学物理方法。

三. 几个保角变换的例题

1.

和

，计算每单位长度圆柱电容的电容量

如图用对数函数

变换至

平面得到平板电容：

那么新平面上两极板等宽，宽为

,相距

,不难得出电容量为

2.

，现令导线均匀带电，线电荷密度为

，求此体系的电势分布

考虑分式线性变换

。为了便于计算，我们希望寻找合适的参数使得体系变为右图。

原平面中

中的电荷变为

处的电荷，因而

,变换后

的对称点变为了无穷远点，因而原平面中

的点变为了

,因而

。此时

为一任意给定的非零常数，为方便起见不妨令其为

。因而变换为

,此时原平面的上半平面变为了

平面上单位圆圆内的部分。易得出电势为

。

3.

的二面角，将导体充到电势

,求二面角电场中的电势分布

考虑幂函数变换

,则

角变为了一平面。在

平面电势

,

为面电荷密度所决定的一个常数，变回原平面得

。